Al escribir \(y=f\left(x\right)\) se dice que \(y\) es la variable dependiente (su valor depende de \(x\)), mientras que \(x\) es la variable independiente.
Además, se dice que el dominio admisible o natural de una función escrito como \(dom f\left(x\right)\) es el conjunto de todos los valores que pueden ser tomados por la variable independiente (valores para los cuales la función está definida y por tanto existe una imagen), mientras que el rango (también llamado codominio o dominio de imágenes) son los valores tomados por la variable dependiente.
$$\mathrm{Por~ejemplo}~\left\{\begin{array}1 \mathrm{si}~f(x)=\frac1{x}~~~ \Longrightarrow dom f\left(x\right)=\left\{x\middle| x\in\mathbb{R} \land x\ne 0\}\right\}\\
\mathrm{si}~f(x)=\sqrt{x}~~~ \Longrightarrow dom~f(x)=\left\{x\middle| x\in\mathbb{R} \land u\geq0\right\}\\
{\rm si} f(x)= \log_a{x}~~~ \Longrightarrow dom~f(x)=\left\{x\middle|x>0 \right\}~~~~~~~~~~~~\end{array}\right.$$
Recuerde estos resultados, son las únicas restricciones que se tienen en \(\mathbb{R}.\) 1. División entre cero. 2. Raíz de índice par de un \(x|x< 0).\) 3. Logaritmo de un \(x|x\le0.\)
Como verá a continuación, para determinar el dominio de una función éstas son las consideraciones que se deben analizar.
Además, en algunos casos al trabajar con funciones se da algún intervalo específico como el dominio de la función, para estos casos no se usa el dominio admisible de la función sino el dominio especificado por el ejercicio o situación, esta es una práctica muy común al definir funciones a trozos o tramos.
En las pestañas Ejercicio I y II se muestran los ejemplos resueltos relacionados al dominio de una función.
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Rango de una función.
El rango de una función también llamado dominio de imágenes o codominio de la función, es el conjunto de valores para los cuales la variable dependiente está definida (valores que devuelve la función al ser evaluada dentro de su dominio).
En algunos casos es muy simple dar una descripción o determinar analíticamente el rango de una función, para otros casos no. A continuación, se presentan algunos ejemplos relacionados al rango de una función, del cual solo se escribirá la característica que lo describe, la determinación analítica del rango deberá esperar hasta el estudio de las funciones inversas.
Ejemplo 1. Describir el rango de la función \(y=x^3-3x^2+5.\) Solución: el \(\mathrm{dom} f(x)\) son todos los reales, por tanto, para \(x\) del dominio existe un \(f(x)=y|y\in\mathbb{R}.\) Así que el rango de un polinomio entero racional son todos los reales.
Ejemplo 2. Describir el rango de la función irracional entera \(f(x)=\sqrt{3x-7}.\) Solución: como la cantidad sud radical debe ser no negativa, la raíz cuadrada de un número no negativo también es no negativa así que, el rango de \(f(x)={y|y\in\mathbb{R}^+\cup{0}}.\)
Ejemplo 3. Rango de una función racional. Describir el rango de la función $$f\left(x\right)=\frac{3x+5}{x^2+3x+2}$$
Solución: \(f\left(x\right)\) existe para todos los valores de \(x\) dentro del dominio, el rango de \(f(x)={y|y\in\mathbb{R}}\)
Note que en los ejemplos del uno al tres solo se ha dado una descripción del rango, no se ha calculado analítiamente el rango por lo que a ciencias ciertas con esta información no es posible expresar de forma explícita el rango de la función.
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Funciones inversas.
Al introducir las funciones se expresó que una función es inyectiva o uno a uno si todos los elementos del conjunto de partida se relacionan con un elemento distinto del conjunto de llegada. La figura de la izquierda muestra dos funciones inyectivas.
Se dice que una función es inyectiva o uno a uno si para dos valores cualquiera \(x_1\) y \(x_2\) se verifica que \(f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)\) si y solo si \(x_1=x_2.\) Lo cual es equivalente a expresar que,
Definción analitica de una función inyectiva.
Una función \(f\) es inyectiva si se cumple que para todo \(x_1\) y \(x_2\) del domino de \(f\) entonces, \(f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)\Longleftrightarrow x_1=x_2\)
Ver la pestaña de Ejercicios II Ej5. en la parte de arriba.
Graficamente es posible observar si una función cualquiera es inyectiva o no mediante la prueba de la recta horizontal, esto es, si la grafica de una función \(f\) cualquiera es intersecada en más de un punto por una recta horizontal cualquiera, entonces dicha función no es inyectiva.
Si una función es inyectiva tiene la propiedad de que posee inversas, esta actúa en la imagen de la función devolviendo la entrada, esto es, al aplicar la función inversa se deshace la acción resultante de la función.
Inversa de una función.
Se dice que si existe una función \({\rm g}\) tal que el dominio ye de \({\rm g}\) es el rango de alguna función \(f\) entonces \({\rm g}\) es la función inversa de \(f\) y se denota por \(f^1\) esto es,
\(f^{-1}\left(y\right)=x\Longleftrightarrow f\left(x\right)=y\)
Determinación analítica de una función inversa.
En algunas funciones uno a uno es posible despejar la variable en forma simple (otras no) y en tales casos resulta la determinación de la función inversa no conlleva un desafío mayor al de seguir los tres simples pasos que se presentan a continuación.
Determinación de funciones inversas.
1. Cambiar f\left(x\right) por \(y\)
2. Despejar \(x\).
3. Intercambiar \(x\) por \(y\)
Para los caso en que despejar la variable no puede hacerse en forma simple como en \(y=x^3+2x+1\) se requiere del uso del cálculo el cual está fuere del alcance de este texto. Si es posible despejar la variable de manera simple bastará aplicar los pasos para determinar la inversa haciendo notar que la inversa de una función no es igual a su reciproca.
$$f^{-1}(x)\neq\frac{1}{f(x)}$$
esta es una diferencia importante que debe hacerse en la conceptualización de funciones ya que a menudo algunas personas tienden a este error.
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Dominio de una función polinomial. Determinar el dominio de \(f(x)=5x^3-3x^2+1\)
Solución: note que no hay divisiones, ni raíces, ni logaritmos, por tanto, no existe ninguna restricción, de modo que, $$\mathrm{dom}\ f\left(x\right)=\left\{x\middle| x\in\mathbb{R}\right\}$$
La expresión anteriór se lee “\(x\) tal que \(x\) pertenece a los reales”. De hecho, \({\rm \textcolor{navy}{todas~ las~ funciones~ polinómicas~tienen~ este~dominio.}}\)
Polinomio con coeficiente irracional. Determinar el dominio de \(f\left(x\right)=x^3+2x^2+\sqrt2x+5.\)
Solución: al igual que en ejemplo anterior no hay división, ni raíces de cantidades negativas, por tanto, \(dom\ f(x)=\{x|x \in\mathbb{R}\}\).
Una expresión irracional. Determinar el dominio de la función \(f\left(x\right)=x^3+2x^2+\sqrt{2x}+5.\)
Solución: a diferecia del ejemplo anterior ahora hay una variable dentro del radical (lo que hace que no sea un polinomio), así que el dominio de la función son todos los valores para los cuales \(2x\) es no negativo, de donde \(dom~f(x)=\{x|x\geq0\}\)
Dominio de una función racional. Determinar el dominio de la función,
$$f(x)=\frac{5}{x+3}$$
Solución: como el denominador no puede ser cero, se iguala \(x+3=0\) y se resuelve.
\(x+3=0\Longleftrightarrow x=-3\) de donde,
$$\mathrm{dom}\ f\left(x\right)=\left\{x\middle| x\in\mathbb{R}-\left\{-3\right\}\right\}$$
(todos los reales, excepto menos tres)
Una función racional. $${\rm Determinar^~el~dominio ~de} ~ f(x)=\frac{x+3}{x^2+7x+12}$$
Una función irracional. Determinar el dominio de la función irracional \(f\left(x\right)=\sqrt{x-3}.\)
Solución: como la función es irracional de indice par, la cantidad sub radical debe ser mayor o igual que cero, así que \(x-3\geq0\ \Longleftrightarrow x\geq3\)
por tanto, \({\rm dom}~ f\left(x\right)=\left\{x\middle|x \in\mathbb{R} \wedge x\geq3 \right\}\)
Función irracional. Determinar el dominio de la función irracional \(f(x)=\sqrt[3]{x-5}\)
Solución: para una función irracional de índice impar no hay restricciones, por tanto el dominio son todos los reales. \(dom\ f\left(x\right)=\left\{x\middle| x\ \in\mathbb{R}\right\}\)
Función valor absouto. Determinar el dominio de \(f(x)=\sqrt{x^2}.\)
Solución: la cantidad sub radical \(x^2\) nunca es negativa, por tanto \(dom f(x)=\left\{x\middle| x\ \in\mathbb{R}\right\}\)
Función racional Determinar el dominio de la función, $$y=\frac{4x+5}{\sqrt{x+5}}$$
Solución: el denominador no puede ser cero, ni la cantidad dentro del radical puede ser negativa. Haciendo el denominador igual a cero se tiene,
\(\sqrt{x+5}=0\Longleftrightarrow x+5=0\Longrightarrow x=-5\) de modo \(-5\) está fuera del dominio.
Analizando la no negatividad de la cantidad sub radical se tiene, \(x+5\geq\ 0\ \Longleftrightarrow x\geq-5\) pero, \(-5\) está fuera, por tanto, solo entran los valores mayores que \(-5\) y se concluye que
\({\rm dom}\ f(x)=\left\{x\middle| x>-5\right\}\).
Una función trigonométrica. Analizar si los valores \( x=0°\), \(x=30°\), \(x=60°\), \(x=90°\) y \(x=360°\) están dentro del dominio de la función $$y=\frac{1}{\sin{x}}$$
Solución: El denominador \(\sin{x}\) no puede ser cero, entonces evaluando \(\sin{x}\) en cada uno de los valores dados,
\begin{align}
&\sin{0°}=0\\
&\sin{30°}=1/2\\
&\sin{60°}=\frac{\sqrt3}{2}\\
&\sin{90°}=1\\
&\sin{360°}=0\end{align}
De donde se concluye que los valores \(x=0°\) y \(x=360°\) están fuera del dominio.
Una función avanza. Determinar el dominio de la función irracional
$$y=\frac{\sqrt{25x^3-100x^2}}{x^3+5x^2-4x-20}$$
Solución: el denominador \(x^3+5x^2-4x-20\) o puede ser cero, así que aplicando la regla de Ruffini se tiene,
Por tanto, están fuera del dominio los valores \(\{-5,-2,\ 2\}\). Analizando el numerador por la segunda retricción la cantidad sub radical \(25x^3-100x^2\) debe ser mayor o igual que cero, note que:
$$\sqrt{25x^3-100x^2}=\sqrt{25x^2(x-4)}=5x\sqrt{x-4}$$
Por tanto el \({\rm dom}~f(x)=\{x|x\geq4\}\). Note que los valores \(\{-5,-2,\ 2\}\) son menores que cuatro y por esta razón no es necesario escribir sobre ellos para especificar el dominio.
Función racional avanzada. Determinar el dominio para $$y=\frac{3x+5}{x^5-2x^4-9x^3+18x^2+20x-40}$$
Solución: como la función es racional, la única restricción posible es que el denominador sea cero. Aplicando la regla de Ruffini y la fórmula cuadrática se encuentra que \(P(x)=(x+2)(x-2)^2(x^2-5)\) de donde,
$${\rm dom}~ y=\{x|x \in\mathbb{R}-\{-\sqrt5,-2,2,\sqrt5,\}\}$$
Función racional avanzada. Determinar el dominio de la función racional
$$f(x)=\frac{7x^2+3x-5}{x^5-4x^4-4x^3+24x^2-32}$$
Solución: el dominio de la función racional son todos los valores para los cuales el denominador es distinto de cero. Use la regla de Ruffini y fórmula general para determinar los ceros de denominador y demostrar que el dominio es \({\rm dom}~ f(x)={x|x\in\mathbb{R}\ -\{-2,\ \ 1-\sqrt5,\ \ 2,\ \ 1+\sqrt5\}}\)
Una función por tramo. Determinar el dominio de la función siguiente:
$$\left\{\begin{array}{l} 2x+5~~~~~~~~~\mathrm{si}~ x < 0\\ \sqrt{3x-5}~~~~{\rm si}~ 0 ≤ x < 100\\ \frac{1}{x+3}~~~~~~~~~~~~{\rm si} ~100 ≤ x \end{array}\right.$$
Solución: el dominio de una función por tramos (a trozos) está constituido por la unión de los sud-dominios válidos para cada tramo.
De la manera en que \(f\left(x\right)\) está definida, se tienen los intervalos \(\left(-\infty,0\right)\cup\left(0,100\right)\cup\left(100,\infty\right).\) Ahora se debe examinar cada uno de estos intervalos para determinar si es necesario o no excluir algún otro valor.
El primer tramo \(f_1(x)\) es un polinomio entero-racional así que no existe ninguna restricción en su dominio.
El segundo tramo \(f_2(x)\) es una expresión irracional de índice par, de donde \(3x-5\geq0 \Longrightarrow x\geq 5/3\) por tanto se debe modificar el intervalo \(\left(0,100\right)\) excluyendo aquellos valores que no cumplen la condición, de donde se tiene el intervalo \(\left(5/3,100\right).\)
El tercer tramo \(f_3(x)\) es una función racional, en la cual \(x=3\) hace cero al denominador, pero \(x=-3\) no pertenece a \(\left(100,\infty\right)\) por lo que no es necesario modificar el intervalo, y por tanto,
$${\rm dom} \ f(x)=\left(-\infty,0\right)\cup\left(5/3,100\right)\cup\left(100,\infty\right)$$
Verificando funciones. Determinar si las funciones dadas son o no funciones inyectivas.
$$a.f\left(x\right)=7x-11\ \ \ \ \ \ \ \ b.f\left(x\right)=3x^2+2\ \ \ \ \ \ c.f\left(x\right)=x^5+7$$
Solución: se inicia por suponer dos números \(x_1\) y \(x_2\) diferentes para los cuales los cuales \(f(x_1)=f(x_2)\), si existen tales números la función no es inyectiva.
Para la parte \(a\)
\begin{align}
&7x_1-11=7x_2-11 ~~~~{\rm Suponiendo~ que}~f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)\\
&7x_1=7x_2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ {\rm Restando~ once}\\
&x_1=x_2 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\rm Dividiendo~ por~ siete}\end{align}
De donde se concluye que \(f\left(x\right)=7x-11\) es inyectiva por cumplir la condición \(f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)\Longleftrightarrow x_1=x_2.\)
Para la parte \(b.\)
\begin{align}
&3{(x_1)}^2+2=3{(x_2)}^2+2 ~~ {\rm Suponiendo~ que~} f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)\\
&3{(x_1)}^2=3{(x_2)}^2~~~~~~~~~~~~~~~~{\rm Simplificando.}\\
&{(x_1)}^2={(x_2)}^2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\rm Dividiendo~ por~ tres.}\end{align}
¿Existen algún par de número que cumpla esta condición sin que \(x_1=x_2\)?
Como la respuesta a esta pregunta es afirmativa, por ejemplo \({(2)}^2={(-2)}^2\) se concluye que \(f\left(x\right)=3x^2+2\) no es inyectiva.
Para la parte \( c.\)
\begin{align}
&{(x_1)}^5+7={(x_2)}^5+7~~~~ {\rm Suponiendo~} f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right).\\
&{(x_1)}^5={(x_2)}^5~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\rm Simplificando.}\end{align}
¿Existen algún par de número que cumpla esta condición sin que \(x_1=x_2\)? No, en la única forma que \({(x_1)}^5={(x_2)}^5\) es si \(x_1=x_2\) y por tanto la función \(f\left(x\right)=x^5+7\) es inyectiva.
Al introducir las funciones se expresó que una función es inyectiva o uno a uno si todos los elementos del conjunto de partida se relacionan con un elemento distinto del conjunto de llegada. La figura de la izquierda muestra dos funciones inyectivas.